第一希望の銀行の事前審査がおりていない状態で契約しても大丈夫なのでしょうか？

[戸建て検討中さん]

現在、第2希望の銀行Aから事前審査okをもらっていますが、本命のネット銀行Bは審査中でどうなるか分かりません(審査には2週間かかると言われました)。

不動産屋さんから、「とりあえず銀行Aの事前審査は通ったので先に契約だけしていただけませんか？今のままだと他の方が申し込んでしまう可能性もありますし…、こちらの都合もあって申し訳ありませんが、銀行Bの結果はしっかり待ちますから安心してください」と言われました。
立地的に必ず住みたいので、契約自体はしても良いのですが、契約書には銀行名を必ず1つは記載しないといけないと思うのですが、まだメインの銀行Bの結果も出ていないのにそういったことはできるのでしょうか？
(ちなみに落ちたら銀行Aですぐに手続き予定です)

仮の契約書は、銀行Aで受けた場合で作ってもらってたので、実際契約時の借入先の記入がどのようになるか分からず質問しました。
担当者さんには後日、確認する予定なのですが皆さんの意見も聞かせていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。